Архивы рубрики: Драйвера

Ограничение в математике

В математике ограничение — условие, которому должен удовлетворять решение задачи оптимизации. Есть два типа ограничений: ограничение-равенства и ограничения-неравенства. Множество решений, удовлетворяющих все ограничения, называется допустимым множеством.

Терминология
Если ограничение является равенством в данной точке, то ограничение называется активным ( англ. binding ), поскольку точка не может перемещаться в направлении ограничения.
Если ограничение является неравенством в данной точке, то ограничение называется неактивным ( англ. non-binding ), поскольку точка может перемещаться в направлении ограничения.

Если ограничение не удовлетворяется, то ограничение называется нарушенным , а соответствующая точка называется недопустимой.

 

Методы и задачи нелинейного программирования

Нелинейное программирование ( NLP, англ. N On L inear P rogramming ) — случай математического программирования, в котором целевой функцией или ограничениями является нелинейная функция.

Задача нелинейного программирования ставится как задача нахождения оптимума определенной целевой функции при выполнении условий
,

где — параметры, — ограничения, n — количество параметров, s — количество ограничений.

В отличие от задачи линейного программирования в задаче нелинейного программирования оптимум не обязательно лежит на границе области, определенной ограничениями.

Методы решения задачи

Одним из методов, которые позволяют свести задачу нелинейного программирования к решению системы уравнений является метод неопределенных множителей Лагранжа.

Если целевая функция F является линейной, а ограниченным пространством является политоп, то задача является задачей линейного программирования, которая может быть решена с помощью хорошо известных решений линейного программирования.

Если целевая функция является вогнутой (задача максимизации), или выпуклой (задача минимизации) и множество ограничений является выпуклой, то задачу называют выпуклой и в большинстве случаев могут быть использованы общие методы выпуклой оптимизации.

Если целевая функция является отношением вогнутых и выпуклых функций (при максимизации) и ограничения выпуклые, то задача может быть преобразована в задачу выпуклой оптимизации использованием техник дробного программирования.

Существуют несколько методов для решения невыпуклых задач. Один подход заключается в использовании специальных формулировок задач линейного программирования. Другой метод предусматривает использование методов ветвей и границ, где задача делится на подклассы, чтобы быть решенной с выпуклыми (задача минимизации) или линейными аппроксимациями, которые образуют нижнюю границу общей стоимости в пределах раздела. При следующих разделах в определенный момент будет получено фактическое решение, стоимость которого равна лучшей нижней границе, полученной для любого из приближенных решений. Это решение является оптимальным, хотя, возможно, не единственным. Алгоритм можно прекратить на ранней стадии, с уверенностью, что оптимальное решение находится в рамках допустимого отклонения от найденной лучшей точки; такие точки называются ? (Эпсилон)-оптимальными. Завершение у ? (Эпсилон)-оптимальных точек, как правило, необходимое для обеспечения конечности завершения. Это особенно полезно для больших, сложных задач и задач с неопределенными расходами или значениями, где неопределенность может быть определена из соответствующей оценки надежности.

Диференцийовнисть и условия регулярности, условия Каруша — Куна — Такера (ККТ) обеспечивают необходимые условия оптимальности решения. При выпуклости, эти условия являются и достаточными.

 

Линейное программирование

Линейное программирование ( LP , англ. L inear P rogramming ) — один из важных разделов исследования операций, сводится к оптимизации линейной целевой функции на множестве , которая описывается линейными уравнениями и неравенствами.

Линейное программирование является частным случаем математического программирования.Одновременно оно — основа нескольких методов решения задач целочисленного и нелинейного программирования. Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их.

Термин «программирование» нужно здесь понимать в значении «планирование». Он был предложен в середине 1940-х годов Джорджем Данциге , одним из основателей линейного программирования, еще до того, как компьютеры были использованы для решения линейных задач оптимизации.

 

Крайняя точка

Крайняя точка, вершина выпуклой множества X линейного пространства E — такая точка x, которое нельзя представить в виде:
x = ? X 1 + (1 — ?) x 2,

где:
— Некоторые точки множества X,
0 Яндекс.Метрика